Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2008 год

Задача №1.  В треугольнике $ABC$ угол $A$ меньше $60^\circ$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты соответствующие точки $X$ и $Y$ так, что $CA+AX = CB +BX$ и $BA+AY = BC +CY$. Пусть $P$ точка на плоскости такая, что прямые $PX$ и $PY$ перпендикулярны прямым $AB$ и $AC$, соответственно. Доказать, что $\angle BPC < 120^\circ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Ученики в классе формируют группы, каждая из которых содержит ровно 3 ученика, таким образом, что любые две различные группы имеют не более одного ученика в общем. Докажите, что если в классе 46 учеников, то найдется множество из 10 учащихся в котором ни одна группа строго не содержится.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через точки $A$ и $C$ пересекает стороны $BC$ и $BA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые $AD$ и $CE$ повторно пересекает $\Gamma$ в точках $G$ и $H$ соответственно. Касательные к $\Gamma$ в точках $A$ и $C$ пересекают прямую $DE$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Доказать, что прямые $LH$ и $MG$ пересекаются на $\Gamma$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  Рассмотрим функцию $f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$, где $\mathbb{N}_0$ — множество неотрицательных целых чисел, которая определяет следующие условия:
(i) $f(0) = 0$,
(ii) $f(2n) = 2f(n)$ и
(iii) $f(2n + 1) = n + 2f(n)$, для всех $n \geq 0$.
(a) Определите три множества $L$, $E$, $G$ такие, что $L= \{n| f(n) < f(n + 1)\}$, $E= \{n | f(n) = f(n + 1)\}$ и $G= \{ n|f(n) > f(n + 1)\}$.
(b) Для каждого $k \geq 0$, найдите общую формулу для $a_k$ относительно $k$, для которой $a_k = \max \{f(n): 0 \leq n \leq 2^k\}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. Пусть $a$, $b$ и $c$ целые числа, такие, что $0 < a < c - 1$ и $1 < b < c$. Для каждого $k$ $(0 \leq k \leq a)$, обозначим через $r_k$ $(0 \leq r_k < c)$ остаток от деления $kb$ на $c$. Доказать, что два множества $\{r_0, r_1, r_2, \dots \, r_a \}$ и $\{ 0, 1, 2, \dots, a \}$ различны.
комментарий/решение(2)

---