қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год
Задача №1. Найдите наименьшее $n$ такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно $n$ членов которой целые.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Последовательность $a_1$, $a_2$, $\dots$ удовлетворяет условию
$a_{i + j} \leq a_i + a_j$.
Докажите, что
$$
{a_1} + \frac{{{a_2}}}{2} + \frac{{{a_3}}}{3} + \dots + \frac{{{a_n}}}{n} \geq {a_n}.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Их общая касательная, ближайшая к $P$, касается $C_1$ в точке $A$, а $C_2$ — в точке $B$. Касательная к $C_1$ в точке $P$ повторно пересекает $C_2$ в точке $C$. $R$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $PQR$ касается $BP$ и $BR$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все пары целых чисел $(a, b)$ для которых $a^2 + 4b$ и $b^2 + 4a$ — точные квадраты.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На плоскости отмечено $2n + 1$ точка, никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре из которых не лежат на одной окружности. Окружность называется хорошей, если на ней лежит 3 отмеченных точки, и количество отмеченных точек, лежащих внутри окружности равно количеству точек, лежащих вне ее. Докажите, что четность количества хороших окружностей совпадает с четностью числа $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение