Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год

Задача №1. Найдите наименьшее

$n$ такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно

$n$ членов которой целые.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Последовательность

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ удовлетворяет условию

$a_{i + j} \leq a_i + a_j$ . Докажите, что

${a_1} + \frac{{{a_2}}}{2} + \frac{{{a_3}}}{3} + \dots + \frac{{{a_n}}}{n} \geq {a_n}.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Окружности

$C_1$ и

$C_2$ пересекаются в точках

$P$ и

$Q$ . Их общая касательная, ближайшая к

$P$ , касается

$C_1$ в точке

$A$ , а

$C_2$ — в точке

$B$ . Касательная к

$C_1$ в точке

$P$ повторно пересекает

$C_2$ в точке

$C$ .

$R$ — точка пересечения прямых

$AP$ и

$BC$ . Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника

$PQR$ касается

$BP$ и

$BR$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все пары целых чисел

$(a, b)$ для которых

$a^2 + 4b$ и

$b^2 + 4a$ — точные квадраты.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На плоскости отмечено

$2n + 1$ точка, никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре из которых не лежат на одной окружности. Окружность называется хорошей, если на ней лежит 3 отмеченных точки, и количество отмеченных точек, лежащих внутри окружности равно количеству точек, лежащих вне ее. Докажите, что четность количества хороших окружностей совпадает с четностью числа

$n$ .
комментарий/решение