Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1999 жыл
Найдите все пары целых чисел (a,b) для которых a2+4b и b2+4a — точные квадраты.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ : все целые числа вида a+b=1
Решение. Пусть a2+4b=m2;b2+4a=n2(1). Вычтем из первого выражения второе и получим (a−b)(a+b−4)=(m−n)(m+n) Рассмотрим три случая
1. a−b=m−n;(2);a+b−4=m+n;(3). Вычтем (3) из (2) и получим n=b−2.
Сложим (2) и (3) и получим m=a−2.
Подставим значение m и n в (1) и получим a+b=1
2. a−b=m+n;a+b=m−n. Сводится к случаю 1
3. a−b=m−nk;a+b=k(m+n). Перемножим эти выражения, таким образом сведя к случаю 1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.