Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год

Найдите все пары целых чисел $(a, b)$ для которых $a^2 + 4b$ и $b^2 + 4a$ — точные квадраты.

Комментарий/решение

Ответ : все целые числа вида $a + b = 1$

Решение. Пусть $a^2+4b=m^2;b^2+4a=n^2$(1). Вычтем из первого выражения второе и получим $$(a-b )(a+b-4)=( m-n )(m+n)$$ Рассмотрим три случая

1. $a-b =m-n; (2);a+b-4=m+n; (3)$. Вычтем (3) из (2) и получим $n=b-2$.

Сложим (2) и (3) и получим $m=a-2$.

Подставим значение $m$ и $n$ в (1) и получим $$a+ b = 1$$

2. $a - b =m+n;a+b=m-n$. Сводится к случаю 1

3. $a-b=\dfrac {m-n}{k};a+ b =k (m+n)$. Перемножим эти выражения, таким образом сведя к случаю 1