Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1999 жыл


Найдите все пары целых чисел (a,b) для которых a2+4b и b2+4a — точные квадраты.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
8 года 5 месяца назад #

Ответ : все целые числа вида a+b=1

Решение. Пусть a2+4b=m2;b2+4a=n2(1). Вычтем из первого выражения второе и получим (ab)(a+b4)=(mn)(m+n) Рассмотрим три случая

1. ab=mn;(2);a+b4=m+n;(3). Вычтем (3) из (2) и получим n=b2.

Сложим (2) и (3) и получим m=a2.

Подставим значение m и n в (1) и получим a+b=1

2. ab=m+n;a+b=mn. Сводится к случаю 1

3. ab=mnk;a+b=k(m+n). Перемножим эти выражения, таким образом сведя к случаю 1