Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1999 год

Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Их общая касательная, ближайшая к $P$, касается $C_1$ в точке $A$, а $C_2$ — в точке $B$. Касательная к $C_1$ в точке $P$ повторно пересекает $C_2$ в точке $C$. $R$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $PQR$ касается $BP$ и $BR$.

Комментарий/решение

Пусть $CP \cap AB=D$. в силу того что $AD=DP$ то $\angle PAB + \angle PBA=\angle RPC+\angle PCB= \angle PRB$ также $\angle AQB=\angle AQP + \angle BQP= \angle PAB +\angle PBA= \angle RPB=\angle BRP$ Отсюда $AQRB$ вписанный, учитывая это получаем:$\angle PQR=\angle PQB +\angle BQR=\angle PBA +\angle BAR=\angle PBA + \angle PAB$