Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1995 год

Задача №1. Найдите все последовательности вещественных чисел

$a_1, a_2, \dots , a_{1995}$ удовлетворяющие неравенствам:

$2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1)$ и

$2\sqrt{a_{1995}-1994} \geq a_1+1.$
комментарий/решение(1)

Задача №2.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ — последовательность целых чисел из отрезка

$[2, 1995]$ такая, что
(1) любые два члена последовательности взаимно просты;
(2) каждый член последовательности является либо простым числом, либо произведением различных простых чисел.
Найдите наименьшее

$n$ , такое, что в последовательности

$a_i$ наверняка будет по крайней мере одно простое число.
комментарий/решение

Задача №3.

$PQRS$ — описанный четырехугольник, стороны которого

$PQ$ и

$RS$ не параллельны. Рассмотрим семейство окружностей проходящих через точки

$P$ и

$Q$ и семейство окружностей, проходящих через точки

$R$ и

$S$ . Определите геометрическое место точек касания окружностей этих двух семейств.
комментарий/решение

Задача №4.

$C$ — окружность радиуса

$R$ с центром в точке

$O$ ,

$S$ — некоторая точка внутри нее.

$AA'$ и

$BB'$ — две перпендикулярные хорды проходящие через

$S$ . Рассмотрим прямоугольники

$SAMB$ ,

$SBN'A'$ ,

$SA'M'B'$ и

$SB'NA$ . Найдите геометрическое место точек

$M$ ,

$N'$ ,

$M'$ ,

$N$ , когда точка

$A$ описывает всю окружность

$C$ .
комментарий/решение

Задача №5. Найдите такое минимальное

$k$ , что существует отображение

$f$ множества целых чисел

$\mathbb{Z}$ в множество

$1$ ,

$2$ ,

$\dots$ ,

$k$ со свойством

$f(x) \neq f(y)$ при

$|x - y| \in 5, 7, 12.$
комментарий/решение