қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1995 год
Задача №1. Найдите все последовательности вещественных чисел $a_1, a_2, \dots , a_{1995}$ удовлетворяющие неравенствам:
$2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1) $
и
$2\sqrt{a_{1995}-1994} \geq a_1+1.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ — последовательность целых чисел из отрезка $[2, 1995]$ такая, что
(1) любые два члена последовательности взаимно просты;
(2) каждый член последовательности является либо простым числом,
либо произведением различных простых чисел.
Найдите наименьшее $n$, такое, что в последовательности $a_i$ наверняка будет по крайней мере одно простое число.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. $PQRS$ — описанный четырехугольник, стороны которого $PQ$ и $RS$ не параллельны.
Рассмотрим семейство окружностей проходящих через точки $P$ и $Q$ и семейство окружностей,
проходящих через точки $R$ и $S$. Определите геометрическое место точек касания окружностей
этих двух семейств.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. $C$ — окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$, $S$ — некоторая
точка внутри нее. $AA'$ и $BB'$ — две перпендикулярные хорды проходящие через $S$.
Рассмотрим прямоугольники $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ и $SB'NA$. Найдите геометрическое
место точек $M$, $N'$, $M'$, $N$, когда точка $A$ описывает всю окружность $C$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Найдите такое минимальное $k$, что существует отображение $f$ множества целых чисел
$\mathbb{Z}$ в множество $1$, $2$, $\dots$, $k$ со свойством $f(x) \neq f(y)$ при $|x - y| \in 5, 7, 12.$
комментарий/решение
комментарий/решение