Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1993 год

Задача №1.

$ABCD$ — четырехугольник, все стороны которого равны и

$\angle ABC = 60^\circ$ .

$l$ — прямая проходящая через

$D$ и не пересекающаяся четырехугольник ни в какой другой точке.

$E$ и

$F$ — точки пересечения

$l$ с прямыми

$AB$ и

$BC$ соответственно,

$M$ — точка пересечения

$CE$ и

$AF$ . Докажите, что

$AC^2 = CM \cdot CE$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите общее число различных целых значений, принимаемых функцией

$f(x) = [x] + [2x] + [5x/3] + [3x] + [4x]$ на отрезке

$[0,100]$ .
комментарий/решение

Задача №3. Даны два ненулевых многочлена с вещественными коэффициентами

$f(x)$ и

$g(x)$ такие, что

$g(x) = (x + r)f(x)$ , для некоторого вещественного

$r$ . Пусть

$a = \max (|a_0|,|a_1|, \dots ,|a_n|),$

$c = \max (|c_0|,|c_1|, \dots ,|c_{n + 1}|),$ где

$a_i$ — коэффициенты многочлена

$f$ , а

$c_i$ — коэффициенты

$g$ . Докажите, что если степень многочлена

$f$ равна

$n$ , то

$\dfrac{a}{c} \leq n + 1$ .
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все натуральные

$n$ , при которых уравнение

$x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0$ имеет целое решение.
комментарий/решение(6)

Задача №5.

$P_1$ ,

$P_2$ ,

$\dots$ ,

$P_{1993} = P_0$ — различные точки плоскости такие, что
(1) для всех

$i$ обе координаты

$P_i$ — целые числа;
(2) на каждом из отрезков

$P_iP_{i + 1}$ нет точек с целыми координатами, отличных от

$P_i$ и

$P_{i + 1}$ .
Докажите, что на одном из отрезков

$P_iP_{i + 1}$ найдется точка

$Q$ с координатами

$(q_x,q_y)$ такая, что числа

$2q_x$ и

$2q_y$ — нечетные целые.
комментарий/решение