Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1993 год

$ABCD$ — четырехугольник, все стороны которого равны и $\angle ABC = 60^\circ$. $l$ — прямая проходящая через $D$ и не пересекающаяся четырехугольник ни в какой другой точке. $E$ и $F$ — точки пересечения $l$ с прямыми $AB$ и $BC$ соответственно, $M$ — точка пересечения $CE$ и $AF$. Докажите, что $AC^2 = CM \cdot CE$.

Комментарий/решение

Треугольник $ABC$ равносторонний т.к. $AB=BC$ и $\angle{ABC}=60$

Также заметим что $ACD$ тоже равностороний

Заметм$:$ $CD\|AB$ и $BC\|AD$

Значит$:$ $ADE$ и $CFD$ подобны

Из чего$:$

$\frac{AE}{AD}=\frac{DC}{CF}$

Но $ADC$ равносторонний

Значит$:$

$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{CF}$ $(1)$

Используя $(1)$ и$:$

$\angle{EAC}=\angle{ACF}=120$

Значит$:$

$EAC$ и $ACF$ также подобны

А значит$:$

$\angle{AEC}=\angle{CAF}= \alpha^\circ$

Через $O$ обозначим центр описанной окружности треугольника $AEM$

$AO=OM$

$\angle AOM = 2 \alpha^\circ$

$\angle OAM = 90 - \alpha^\circ$

$\angle OAC = 90^\circ$

$AC -$ касательная

И по степени точки$:$

$AC^2=CE \cdot CM$

Ч.Т.Д.