Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1992 год

Задача №1. Стороны треугольника равны

$a$ ,

$b$ и

$c$ . Пусть

$p$ — полупериметр треугольника

$\left( {p = \dfrac{{a + b + c}}{2}} \right)$ . Строят треугольник со сторонами

$p - a$ ,

$p - b$ и

$p - c$ (если возможно), затем тоже самое делают с полученным треугольником и так далее. Найдите все треугольники, для которых данный процесс может продолжаться бесконечно.
комментарий/решение

Задача №2. Окружности с центрами в точках

$O_1$ и

$O_2$ касаются окружности с центром

$O$ в точках

$A_1$ и

$A_2$ , и касаются друг друга в точке

$A$ . Докажите, что прямые

$AO$ ,

$A_1O_1$ ,

$A_2O_2$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$n$ — целое число большее 3. Выберем три различных числа из множества

$\{1, 2, \dots, n\}$ . Используя только эти три числа (каждое по одному разу), а также операции сложения, умножения и расставления скобок образуем все возможные арифметические выражения.
(1) Докажите, что если все три выбранных числа больше

$n/2$ , то значения всех составленных выражений различны.
(2) Пусть

$p$ — простое число не превосходящее

$\sqrt{n}$ . Докажите, что число способов выбрать три числа таких, что наименьшее из них равно

$p$ и значения не всех полученных выражений различны, в точности равно количеству натуральных делителей числа

$p-1$ .
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все пары чисел

$(h,s)$ такие что для любых

$h$ прямых, параллельных данной прямой

$l$ , и s прямых таких, что
(1) ни одна из них не параллельна

$l$ ;
2) никакие две из них не параллельны;
(3) никакие три из

$h + s$ прямых не пересекаются в одной точке
количество областей на которые эти

$h + s$ прямых делят плоскость равно 1992.
комментарий/решение

Задача №5. Найдите последовательность максимальной длины, состоящую из ненулевых целых чисел, такую, что сумма любых семи членов последовательности подряд была бы положительна, а любых одиннадцати членов подряд — отрицательна.
комментарий/решение(1)