Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1991 год

Задача №1.

$G$ — центр тяжести треугольника

$ABC$ ,

$M$ — середина стороны

$BC$ . Точки

$X$ и

$Y$ выбрали на сторонах

$AB$ и

$AC$ так, что

$XY$ параллельно

$BC$ и точки

$X,Y,G$ лежат на одной прямой.

$XC$ и

$GB$ пересекаются в точке

$Q$ , а

$YB$ и

$GC$ — в точке

$P$ . Докажите, что треугольники

$MPQ$ и

$ABC$ подобны.
комментарий/решение(1)

Задача №2. На плоскости отмечено 997 точек. Каждые две из отмеченных точек соединили отрезками и середины каждого отрезка покрасили в красный цвет. Докажите, что количество красных точек на плоскости не менее 1991. Можете ли вы привести пример, когда их будет ровно 1991?
комментарий/решение

Задача №3.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ ,

$b_1$ ,

$b_2$ ,

$\dots$ ,

$b_n$ — положительные вещественные числа такие, что

$a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$ . Докажите, что

$\frac{{a_1^2}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{a_2^2}}{{{a_2} + {b_2}}} + \dots + \frac{{a_n^2}}{{{a_n} + {b_n}}} \geq \frac{{{a_1} + {a_2} + \dots + {a_n}}}{2}.$
комментарий/решение(6)

Задача №4.

$n$ школьников сидят вокруг учителя, который раздает леденцы. Учитель выбрал первого попавшегося ребенка и дал ему леденец, следующий леденец он дал ребенку сидящему через одного от первого по часовой стрелке, затем он пропустил еще двух школьников, и дал леденец следующему ребенку, затем он пропустил трех и так далее. Найдите все значения

$n$ при которых рано или поздно каждый ребенок получит хотя бы по одному леденцу.
комментарий/решение

Задача №5. Даны две касающиеся окружности и точка

$P$ на их общей касательной, проведенной в точке касания окружностей. Пользуясь только циркулем и линейкой постройте окружность проходящую через точку

$P$ и касающуюся данных.
комментарий/решение(1)