Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1991 год

Даны две касающиеся окружности и точка $P$ на их общей касательной, проведенной в точке касания окружностей. Пользуясь только циркулем и линейкой постройте окружность проходящую через точку $P$ и касающуюся данных.

Комментарий/решение

Решение Пусть $T$ - точка касания данных окружностей, $\omega_1,\omega_2$ - данные окружности. Рассмотрим инверсию с центром $P$ и радиусом $PT$. Поскольку $P$ лежит на радикальной оси $\omega_1,\omega_2$, они сохраняются, а искомая окружность $\omega$ переходит в прямую, касающуюся $\omega_1$ в точке $A$, а $\omega_2$ в точке $B$(из того, что инверсия сохраняет касания). Так как данные окружности сохраняются, то $AP\cap \omega_1=A', BP\cap\omega_2=B'$ - прообразы $A$ и $B$, поэтому $\omega$ является описанной около треугольника $A'B'P$. Для двух общих касательных есть две такие окружности

Замечание данное решение легко обобщить для любых двух окружностей и точки $P$, если уметь строить образы точек при инверсии.