Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1989 год

Задача №1. Пусть

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$\dots$ ,

$x_n$ — положительные числа,

$S = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ . Докажите, что

$\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right) \dots \left( {1 + {x_n}} \right) \leq 1 + S + \frac{{{S^2}}}{{2!}} + \frac{{{S^3}}}{{3!}} + \dots + \frac{{{S^n}}}{{n!}}.$
комментарий/решение(3)

Задача №2. Докажите, что уравнение

$6(6a^2 + 3b^2 + c^2) = 5n^2$ не имеет целочисленных решений, отличных от

$a = b = c = n = 0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3.

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ — три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Для удобства, положим

$A_4 = A_1$ ,

$A_5 = A_2$ . При

$n = 1$ ,

$2$ ,

$3$ ,

$4$ ,

$B_n$ — середина отрезка

$A_nA_{n + 1}$ , а

$C_n$ — середина

$A_nB_n$ . При

$n = 1$ ,

$2$ ,

$3$ прямые

$A_nC_{n + 1}$ и

$B_nA_{n + 2}$ пересекаются в точке

$D_n$ , а прямые

$A_nB_{n + 1}$ и

$C_nA_{n + 2}$ — в точке

$E_n$ . Найдите отношение площадей треугольников

$D_1D_2D_3$ и

$E_1E_2E_3$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4.

$S$ — множество, состоящее из

$m$ пар

$(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих условию

$1 \leq a < b \leq n$ . Докажите, что существует по крайней мере

$\frac{4m(m-n^2/4)}{3n}$ троек чисел

$(a,b,c)$ таких, что

$(a,b)$ ,

$(a,c)$ и

$(b,c)$ принадлежат

$S$ .
комментарий/решение

Задача №5. Найдите все функции

$f$ , определенные на множестве вещественных чисел, такие, что
(1)

$f(x)$ строго возрастает;
(2)

$f(x) + f ^{-1}(x) = 2x$ для всех вещественных

$x$ ;
где через

$f^{-1}$ обозначена функция обратная к

$f$ .
комментарий/решение(1)