Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1989 год

Найдите все функции $f$, определенные на множестве вещественных чисел, такие, что
(1) $f(x)$ строго возрастает;
(2) $f(x) + f ^{-1}(x) = 2x$ для всех вещественных $x$;
где через $f^{-1}$ обозначена функция обратная к $f$.

Комментарий/решение

$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{E}$$

$$1) \forall x_j \in \mathbb{R}: x_1<x_2<...<x_n \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)<...<f(x_n)$$

$$ 2) \forall x \in R : f(x)+f^{-1}(x)=2x$$

$$РЕШЕНИЕ:$$

$$Свойства.1.1. \forall y\in D(f) \Rightarrow f(f^{-1}(y))=y$$

$$ f(x)+f^{-1}(x)=2x \Rightarrow f^{-1}(x)=2x-f(x) \Rightarrow f(f^{-1}(x))=f(2x-f(x))=x$$

$$f(x)+f^{-1}(x)=2x \Rightarrow x=\frac{f(x)+f^{-1}(x)}{2}$$

$$f(2x-f(x))=\frac{f(x)+f^{-1}(x)}{2} \Rightarrow 2f(2x-f(x))-f(x)=f^{-1}(x)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(2f(2x-f(x))-f(x))=x$$

$ ТЕОРЕМА.1.1.$ Если функция $у=f(x)$ - монотонно возрастает, то уравнения $ f(x)=x $ и $f(f(x))=x$ имеют одно и то же множество корней.

$$ \Rightarrow f(2f(2x-f(x))-f(x))=f(f(x))\Rightarrow2x-f(x)=x+a\Rightarrow$$

$$ f(x)=x+a$$