Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1989 год

Докажите, что уравнение $6(6a^2 + 3b^2 + c^2) = 5n^2$ не имеет целочисленных решений, отличных от $a = b = c = n = 0$.

Комментарий/решение

$6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2$=>$6a^2+3b^2+c^2=30d^2$=>$2a^2+b^2+3k^2=10d^2$

(т.к левая часть :6 =>n:6=>n=6d),

$2a^2+b^2+3k^2=10d^2$ отсюда следует что b и к одной четности, если b и k нечетные тогда $b^2+3k^2=4k^2=4(mod 8)$ =>2(a^2-d^2)=4(mod8)=>a^2-d^2=2(mod4)$противоречие.

Поэтому b и k четные => тогда существует f и e такие что $2a^2+4e^+12f^2=10d^2$=>

$a^2+2e^2+6f^2=5d^2$ очевидно что a и d одной четности и еще они не могут быть нечетными, т.е a и d четные => существует q и p такие что $a^2+2e^2+6f^2=5d^2$=$4p^2+2e^2+6f^2=20q^2$=>$2p^2+e^2+3f^2=10q^2$ методом бесконечного спуска выходит что единственный ответ: $a=b=c=n=0$