Processing math: 100%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1989 жыл


Докажите, что уравнение 6(6a2+3b2+c2)=5n2 не имеет целочисленных решений, отличных от a=b=c=n=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 2 месяца назад #

6(6a2+3b2+c2)=5n2=>6a2+3b2+c2=30d2=>2a2+b2+3k2=10d2

(т.к левая часть :6 =>n:6=>n=6d),

2a2+b2+3k2=10d2 отсюда следует что b и к одной четности, если b и k нечетные тогда b2+3k2=4k2=4(mod8) =>2(a^2-d^2)=4(mod8)=>a^2-d^2=2(mod4)$противоречие.

Поэтому b и k четные => тогда существует f и e такие что 2a2+4e+12f2=10d2=>

a2+2e2+6f2=5d2 очевидно что a и d одной четности и еще они не могут быть нечетными, т.е a и d четные => существует q и p такие что a2+2e2+6f2=5d2=4p2+2e2+6f2=20q2=>2p2+e2+3f2=10q2 методом бесконечного спуска выходит что единственный ответ: a=b=c=n=0