IX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2010 год

Задача №1.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ADB + \angle ACB = \angle CAB + \angle DBA = 30^{\circ}$ и $AD = BC$. Докажите, что из отрезков $DB$, $CA$ и $DC$ можно составить прямоугольный треугольник.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Обозначим $N = 2010!+1$. Докажите, что
a) $N$ не делится на $4021$;
b) $N$ не делится на $2027, 2029, 2039$;
c) $N$ имеет простой делитель, больший $2050$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Для положительных действительных чисел $a,b,c,d$, удовлетворяющих условиям: $a(c^2 - 1) = b(b^2 + c^2)$ и $d \le 1$, докажите неравенство $$d(a\sqrt{1-d^2} + b^2\sqrt{1 + d^2}) \le \dfrac{(a+b)c}{2}.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В странах Шелкового пути имеется конечное число городов, некоторые пары из которых соединены односторонними дорогами (между одной и той же парой городов может проходить несколько дорог, причем они могут иметь противоположные направления). Известно, что любые два пути по этим дорогам от города $A$ до города $B$ используют общую дорогу. Докажите, что некоторая дорога является общей частью для всех путей от $A$ до $B$.
комментарий/решение

---