10-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2010 жыл

Есеп №1. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $\angle ADB + \angle ACB = \angle CAB + \angle DBA = 30^{\circ}$ және $AD = BC$ екені белгілі болса, $DB$, $CA$ және $DC$ кесінділері тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Біз $N = 2010!+1$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер:
a) $N$ саны $4021$-ге бөлінбейді;
b) $N$ саны $2027, 2029, 2039$ сандарының ешқайсысына бөлінбейді;
c) $N$-нің $2050$-ден үлкен жай бөлгіші бар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Оң нақты $a,b,c,d$ сандары $a(c^2 - 1) = b(b^2 + c^2)$ және $d \le 1$ шарттарын қанағаттандыратын болса, теңсіздікті дәлелдеңдер: $d(a\sqrt{1-d^2} + b^2\sqrt{1 + d^2}) \le \dfrac{(a+b)c}{2}.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Жібек жолы елдерінде орналасқан қалалардың саны ақырлы және бұл қалалардың кейбір парлары бір бағытта ғана жүруге болатын жолдармен қосылған (екі қаланың арасында бірнеше жол болуы мүмкін, олардың бағыты тіпті бір-біріне қарама қарсы болуы мүмкін). $A$ қаласынан $B$ қаласына алып келетін кез келген екі жолдар тізбегінің ортақ жолы табылатыны белгілі. $A$ қаласынан $B$ қаласына алып келетін барлық жолдар тізбегіне ортақ жол табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

---