10-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2010 жыл

Есеп №1. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$\angle ADB + \angle ACB = \angle CAB + \angle DBA = 30^{\circ}$ және

$AD = BC$ екені белгілі болса,

$DB$ ,

$CA$ және

$DC$ кесінділері тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Біз

$N = 2010!+1$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер:
a)

$N$ саны

$4021$ -ге бөлінбейді;
b)

$N$ саны

$2027, 2029, 2039$ сандарының ешқайсысына бөлінбейді;
c)

$N$ -нің

$2050$ -ден үлкен жай бөлгіші бар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң нақты

$a,b,c,d$ сандары

$a(c^2 - 1) = b(b^2 + c^2)$ және

$d \le 1$ шарттарын қанағаттандыратын болса, теңсіздікті дәлелдеңдер:

$d(a\sqrt{1-d^2} + b^2\sqrt{1 + d^2}) \le \dfrac{(a+b)c}{2}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Жібек жолы елдерінде орналасқан қалалардың саны ақырлы және бұл қалалардың кейбір парлары бір бағытта ғана жүруге болатын жолдармен қосылған (екі қаланың арасында бірнеше жол болуы мүмкін, олардың бағыты тіпті бір-біріне қарама қарсы болуы мүмкін).

$A$ қаласынан

$B$ қаласына алып келетін кез келген екі жолдар тізбегінің ортақ жолы табылатыны белгілі.

$A$ қаласынан

$B$ қаласына алып келетін барлық жолдар тізбегіне ортақ жол табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

результаты