Processing math: 100%

IX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2010 год


Задача №1.  В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ADB+ACB=CAB+DBA=30 и AD=BC. Докажите, что из отрезков DB, CA и DC можно составить прямоугольный треугольник.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Обозначим N=2010!+1. Докажите, что
a) N не делится на 4021;
b) N не делится на 2027,2029,2039;
c) N имеет простой делитель, больший 2050.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Для положительных действительных чисел a,b,c,d, удовлетворяющих условиям: a(c21)=b(b2+c2) и d1, докажите неравенство d(a1d2+b21+d2)(a+b)c2.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В странах Шелкового пути имеется конечное число городов, некоторые пары из которых соединены односторонними дорогами (между одной и той же парой городов может проходить несколько дорог, причем они могут иметь противоположные направления). Известно, что любые два пути по этим дорогам от города A до города B используют общую дорогу. Докажите, что некоторая дорога является общей частью для всех путей от A до B.
комментарий/решение
результаты