IX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2010 год
Задача №1. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что
∠ADB+∠ACB=∠CAB+∠DBA=30∘ и AD=BC. Докажите, что из отрезков DB, CA и DC
можно составить прямоугольный треугольник.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Обозначим N=2010!+1. Докажите, что
a) N не делится на 4021;
b) N не делится на 2027,2029,2039;
c) N имеет простой делитель, больший 2050.
комментарий/решение(1)
a) N не делится на 4021;
b) N не делится на 2027,2029,2039;
c) N имеет простой делитель, больший 2050.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Для положительных действительных чисел a,b,c,d, удовлетворяющих условиям:
a(c2−1)=b(b2+c2) и d≤1, докажите неравенство
d(a√1−d2+b2√1+d2)≤(a+b)c2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В странах Шелкового пути имеется конечное число городов,
некоторые пары из которых соединены односторонними
дорогами (между одной и той же парой городов может проходить несколько дорог,
причем они могут иметь противоположные направления).
Известно, что любые два пути по этим дорогам от города A до города B
используют общую дорогу.
Докажите, что некоторая дорога является общей частью для всех путей от A до B.
комментарий/решение
комментарий/решение