IV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2005 год

Задача №1. Пусть натуральное число

$n \ge 2$ . Докажите, что

$(1^{n-1} + 2^{n-1} + \ldots + (n-1)^{n-1}) + 1 \text{ делится на } n$ тогда и только тогда, когда для каждого простого делителя

$p$ числа

$n$

$\dfrac{n}{p}-1 \text{ делится на $p$ и $\dfrac{n}{p}-1$ делится на $p - 1$}.$
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел

$(m, n)$ , при которых возможно раскрасить каждую клетку клетчатой доски размера

$m \times n$ в белый или черный цвета так, чтобы для любой клетки доски количество соседних клеток одинакового цвета с ней было нечетным. Две клетки называются

$\textit{соседними}$ , если они различные и имеют хотя бы одну общую вершину.
комментарий/решение

Задача №3.

$A, B, C$ — три точки, лежащие на одной прямой, причем

$B$ лежит между

$A$ и

$C$ . Пусть

$AA'$ и

$BB'$ — параллельные прямые такие, что

$A'$ и

$B'$ лежат по одну сторону от прямой

$AB$ , точки

$A',B'$ и

$C$ не лежат на одной прямой. Через

$O_1$ обозначим центр окружности, проходящей через точки

$A,A',C$ , а через

$O_2$ — центр окружности, проходящей через точки

$B,B',C$ . Определите всевозможные значения угла

$CAA'$ , если площади треугольников

$A'CB'$ и

$O_1CO_2$ равны.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть бесконечная последовательность

$a(1), a(2), \ldots$ определена следующим образом:

$a(1) = a(2) = 1$ и

$a(n) = a(a(n - 1)) + a(n - a(n - 1)) \text{ при } n \ge 3.$ Докажите, что

$a(2n) \le 2a(n)$ при всех

$n \ge 1$ .
комментарий/решение

результаты