IV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2005 год

$A, B, C$ — три точки, лежащие на одной прямой, причем $B$ лежит между $A$ и $C$. Пусть $AA'$ и $BB'$ — параллельные прямые такие, что $A'$ и $B'$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, точки $A',B'$ и $C$ не лежат на одной прямой. Через $O_1$ обозначим центр окружности, проходящей через точки $A,A',C$, а через $O_2$ — центр окружности, проходящей через точки $B,B',C$. Определите всевозможные значения угла $CAA'$, если площади треугольников $A'CB'$ и $O_1CO_2$ равны.

Комментарий/решение

Так как $AA'||BB'$ из леммы Фусса для окружностей $(A'AC)$ и $(B'BC)$ и секущей $AB$ получаем, что $A'B'$ проходит через вторую точку пересечения этих окружностей $D$. $\angle DB'C=\angle O_1O_2C, \angle DA'C=\angle O_2O_1C$, откуда $\triangle O_1O_2C\sim \triangle A'B'C$, но из равенства площадей следует абсолютное равенство с точностью до наоборот. $CO_2$, радиус окружности с центром $O_2$, должен быть равен какой-то хорде $CB'$ и тут же можно помянуть неправильность треугольника $O_2B'C$ ($A'O_1C$ также),откуда следует, что либо оба возможных угла (следствие биполярности мира сего) $CAA'$ дополняют друг друга до $180^\circ$, а один из них $\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$, откуда второй нетрудным счетом равен $150^\circ$.