Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Коля, Вася және Петя дүкенге барды. Олардың ешқайсысында 1 рубльден ұсақ тиын жоқ және олардың өзідерімен алған алған ақшаларының бәрі 2200 рубль. Коляда өзімен бірге Васяға қарағанда 18 есе аз ақша бар. Олай болса, Петя 15 рубль тұратын балмұздақ сатып ала алатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $B$ бұрышы 120 градус болатын $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $AD=AB$ және $CE=CB$ болатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $D$ нүктесінен $BE$ түзуіне $DF$ перпендикуляры түсірілген. $BD/DF$ қатынасын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. 30 адам әр қатарда бес адам болатындай алты қатарға тізілген. Олардың әрқайсысы әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірікті айтатын өтірікші, және де олардың әрқайсысына кімнің сері, кімнің өтірікші екені белгілі. Олардың әрқайсысынан журналист: «Қатардағы адамдардың жартысынан көбі өтірікшілер болатындай, кемінде 4 қатар табылады деген тұжырым дұрыс па?» деп сұрады. Журналист ең көп дегенде қанша «ия» деген жауапты естуі мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Миша мен Маша пойызбен Кировқа кетіп бара жатқан. Миша сөреде жатқан, ал Маша терезеге қарап отырған. Сағат 12.00-де Миша Машадан «Кировқа дейін әлі көп па?» деп сұрады. Маша «73 километр» деп жауап берді. Миша осы сұрақты 12.15-те және 12.45-те қойғанда, Маша: «62 километр» және «37 километр» деп жауап берді. Машаның, егер арақашықтық бүтін болмаса, оны ең жақын бүтін санға дейін дөңгелектеп отырғаны белгілі (ал егер ондай сан екеу болса, онда екі санның біреуін өз қалауы бойынша таңдайды). Егер пойыз жылдамдығы тұрақты болса, онда сол жылдамдықты табыңдар. Барлық мүмкін жағдайды қарастырып, басқа жағдай жоқ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Екі ойыншы келесі ойынды ойнайды. Басында оларда өлшемі ${m\times n}$ болатын тіктөртбұрышты парақ қағаз бар, бұл жерде $m$ және ${n - 1}$-ден үлкен натурал сандар. Олар кезектесіп жүреді. Әр жүрісте ойыншы тіктөртбұрышты біреуінің ауданы 1-ге тең болатындай екі тіктөртбұрышқа бөледі де, ауданы 1 болатын бөлікті тастайды. Егер бір ойыншының жүрісінен кейін, қандай да бір қабырғасы 1-ден кіші болатын тіктөртбұрыш немесе $1\times 1$ квадрат қалса, сол ойыншы жеңіледі. Дұрыс ойында кім жеңеді: бірінші ойыншы ма, әлде қарсыласы ма, және ұту үшін ол қалай ойнау керек?
комментарий/решение(1)