Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1.  Написали два числа — первое и второе. К первому прибавили второе — получили третье, ко второму прибавили третье — получили четвертое и т.д. Сумма первых шести чисел равна 2008. Чему равно пятое число?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Из четырех внешне одинаковых монет три — настоящие и весят одинаково, а четвертая — фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей. Имеются весы, на которых можно определить точный вес двух или большего числа монет. Точный вес одной монеты определить нельзя. Как за 4 взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее, чем настоящие?
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, вчетверо короче гипотенузы. Найдите острые углы треугольника.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Между пунктами $K$ и $M$ через озеро $B$ курсируют с равными постоянными скоростями несколько паромов. Каждый паром стоит в каждом из пунктов столько же времени, сколько тратит на переправу. Путешественник заметил, что паромы отправляются из каждого пункта через равные промежутки времени, а его паром отправился ровно в тот момент, когда к одному из соседних причалов прибыл паром с другого берега. Докажите, что число курсирующих на переправе паромов делится на 4.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  На доске нарисовали 8 непересекающихся кругов и от каждого провели по стрелке к тем из остальных семи, которые не больше него. Всего получилось 33 стрелки. Докажите, что среди нарисованных на доске кругов есть три равных.
комментарий/решение(1)

---