Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, III тур дистанционного этапа

Между пунктами $K$ и $M$ через озеро $B$ курсируют с равными постоянными скоростями несколько паромов. Каждый паром стоит в каждом из пунктов столько же времени, сколько тратит на переправу. Путешественник заметил, что паромы отправляются из каждого пункта через равные промежутки времени, а его паром отправился ровно в тот момент, когда к одному из соседних причалов прибыл паром с другого берега. Докажите, что число курсирующих на переправе паромов делится на 4.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть паромы отправляются от причала с интервалом $t$ минут, через озеро плывут по $T$ минут, а пока паром путешественника стоял у берега, к этому берегу прибыло $n$ других паромов. Так как последний из них прибыл в момент отплытия путешественника, промежуток времени $t$ укладывается в промежутке времени $T$ ровно $n$ раз, то есть $T = nt$. С другой стороны, каждый паром отправляется из данного пункта, например, $K$ с интервалом в $4T$: $T$ на переправу, $T$ на стоянку в $M$, $T$ на обратную переправу и $T$ на стоянку перед следующим отправлением. Следовательно, всего на переправе работает $4T/t = 4n$ паромов.