Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Задача №1. Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Произведение квадратных трехчленов

$x^2 +a_1x+b_1$ ,

$x^2 +a_2x+b_2$ ,

$\dots$ ,

$x^2 +a_n x+b_n$ равно многочлену

$P(x)= x^{2n} +c_1x^{2n-1} +c_2x^{2n-2} +\dots + c_{2n-1}x + c_{2n}$ , где коэффициенты

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$\dots$ ,

$c_{2n}$ положительны. Докажите, что для некоторого

$k$ (

$1 \leq k \leq n$ ) коэффициенты

$a_k$ и

$b_k$ положительны.
комментарий/решение

Задача №3. В гоночном турнире 12 этапов и

$n$ участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места

$k$ получают баллы

$a_k$ (числа

$a_k$ натуральны и

$a_1 > a_2 > \dots > a_n$ ). При каком наименьшем

$n$ устроитель турнира может выбрать числа

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
комментарий/решение

Задача №4. Биссектрисы углов

$A$ и

$C$ треугольника

$ABC$ пересекают его стороны в точках

$A_1$ и

$C_1$ , а описанную окружность этого треугольника — в точках

$A_0$ и

$C_0$ соответственно. Прямые

$A_1C_1$ и

$A_0C_0$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что отрезок, соединяющий

$P$ с центром вписанной окружности треугольника

$ABC$ , параллелен

$AC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что для каждого

$x$ такого, что

$\sin x \neq 0$ , найдется такое натуральное

$n$ , что

$|\sin nx| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
комментарий/решение

Задача №6. В тетраэдре

$ABCD$ из вершины

$A$ опустили перпендикуляры

$AB'$ ,

$AC'$ ,

$AD'$ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах

$CD$ ,

$BD$ ,

$BC$ пополам. Докажите, что плоскость

$(B'C'D')$ параллельна плоскости

$(BCD)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Докажите, что если натуральное число

$N$ представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате

$300 \times 300$ , чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?
комментарий/решение