Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. 1–ден 200-ге дейінгі натурал санларды 50 жиынға бөлді. Осы жиындардың бірінде үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары болатындай үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$x^2 +a_1x+b_1$ ,

$x^2 +a_2x+b_2$ ,

$\dots$ ,

$x^2 +a_n x+b_n$ квадрат үшмүшеліктерінің көбейтіндісі

$P(x)= x^{2n} +c_1x^{2n-1} +c_2x^{2n-2} +\dots + c_{2n-1}x + c_{2n}$ көпмүшелігіне тең, мұндағы

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$\dots$ ,

$c_{2n}$ коэффициенттері оң сандар. Белгілі бір

$k$

$(1 \leq k \leq n)$ үшін

$a_k$ және

$b_k$ коэффициенттері оң екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №3. 12 кезеңнен тұратын машина жарысында

$n$ қатысушы қатысты. Әрбір кезеңнен кейін әрбір қатысушы алынған

$k$ орынға сай

$a_k$ ұпайларын алады (

$a_k$ саны натурал және

$a_1 > a_2 > \dots > a_n$ ).

$n$ санының ең кіші қандай мәнінде жарыс ұйымдастырушысы соңына бір кезең қалғанда орны бойынша кез келген орналасу жағдайында кем дегенде екі қатысушының бірінші орын алуға мүмкіндігі болатындай

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ сандарын таңдай алады?
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$C$ бұрыштарының биссектрисалары сәйкесінше қарсы қабырғаларын

$A_1$ және

$C_1$ нүктелерінде, ал сырттай сызылған шеңберді

$A_0$ және

$C_0$ нүктелерінде қияды.

$A_1C_1$ және

$A_0C_0$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі мен

$P$ нүктесін қосатын түзу

$AC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\sin x \neq 0$ болатындай әрбір

$x$ үшін

$|\sin nx| \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ шарты орындалатындай

$n$ натурал саны табылатынын дәлеледеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №6.

$ABCD$ тетраэдрінде

$A$ төбесінен

$CD$ ,

$BD$ ,

$BC$ қабырғаларындағы екі жақты бұрыштарын тең екіге бөлетін жазықтықтарға

$AB'$ ,

$AC'$ ,

$AD'$ перпендикулярлары жүргізілген.

$(B'C'D')$ жазықтығы

$(BCD)$ жазықтығына параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Натурал

$N$ санын 3-ке бөлінетін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде жазуға болады. Ол санды 3-ке бөлінбейтін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде де жазуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$300 \times 300$ ақ шаршысында ешбір үш қара тор бұрыш жасамайтындай және бояудан кейін кез келген ақ тормен бұл шарт бұзылатындай ең аз дегенде қанша торды қара түске бояуға болады?
комментарий/решение