қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. 1–ден 200-ге дейінгі натурал санларды 50 жиынға бөлді. Осы жиындардың бірінде үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары болатындай үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $x^2 +a_1x+b_1$, $x^2 +a_2x+b_2$,
$\dots$, $x^2 +a_n x+b_n$ квадрат үшмүшеліктерінің көбейтіндісі $P(x)= x^{2n} +c_1x^{2n-1} +c_2x^{2n-2} +\dots + c_{2n-1}x + c_{2n}$ көпмүшелігіне тең, мұндағы $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_{2n}$ коэффициенттері оң сандар. Белгілі бір $k$ $(1 \leq k \leq n)$ үшін $a_k$ және $b_k$ коэффициенттері оң екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. 12 кезеңнен тұратын машина жарысында $n$ қатысушы қатысты. Әрбір кезеңнен кейін әрбір қатысушы алынған $k$ орынға сай $a_k$ ұпайларын алады ( $a_k$ саны натурал және $a_1 > a_2 > \dots > a_n$). $n$ санының ең кіші қандай мәнінде жарыс ұйымдастырушысы соңына бір кезең қалғанда орны бойынша кез келген орналасу жағдайында кем дегенде екі қатысушының бірінші орын алуға мүмкіндігі болатындай $a_1$, $\dots$, $a_n$ сандарын таңдай алады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ бұрыштарының биссектрисалары сәйкесінше қарсы қабырғаларын $A_1$ және $C_1$ нүктелерінде, ал сырттай сызылған шеңберді $A_0$ және $C_0$ нүктелерінде қияды. $A_1C_1$ және $A_0C_0$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі мен $P$ нүктесін қосатын түзу $AC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\sin x \neq 0$ болатындай әрбір $x$ үшін $|\sin nx| \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ шарты орындалатындай $n$ натурал саны табылатынын дәлеледеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $ABCD$ тетраэдрінде $A$ төбесінен $CD$, $BD$, $BC$ қабырғаларындағы екі жақты бұрыштарын тең екіге бөлетін жазықтықтарға $AB'$, $AC'$, $AD'$ перпендикулярлары жүргізілген. $(B'C'D')$ жазықтығы $(BCD)$ жазықтығына параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Натурал $N$ санын 3-ке бөлінетін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде жазуға болады. Ол санды 3-ке бөлінбейтін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде де жазуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $300 \times 300$ ақ шаршысында ешбір үш қара тор бұрыш жасамайтындай және бояудан кейін кез келген ақ тормен бұл шарт бұзылатындай ең аз дегенде қанша торды қара түске бояуға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение