қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур регионального этапа
Есеп №1. $10\times10$ кестесінің әр бағанында жоғарыдан төмен қарай 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 сандары бір-бірден өсу ретімен жазылған. Кестенің жоғарғы қатарындағы қандай да ұяшықтан бастап, төменгі қатардың қандай да ұяшығына дейін жүру керек, әрі жүру кезінде әр ұяшықтан көрші ұяшыққа тек оңға немесе төмен қарай қозғалуға болады. Барлық жүріп өткен ұяшықтардағы сандардың қосындысы 2026-ға тең болатындай жолды табыңыз. Жауап ретінде бір ғана мысал келтірсеңіз жеткілікті.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $a$, $b$, $c$ сандары үшін $a^2+b^2>(a+b)^2$ және $b^2+c^2>(b+c)^2$ теңсіздіктері орындалады. $a^4+c^4$ және $(a+c)^4$ сандарының қайсысы үлкен?
(
И. Рубанов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $K$ нүктесі оның $BL$ биссектрисасының ортасы. $AK=AL$ және ${AK\perp BC}$ екені белгілі. $\angle ABC$ бұрышы неше градусқа тең?\avtor{П. Кожевников}
(
П. Кожевников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Екі қатары және $n$ бағаны бар электрондық кестенің ұяшықтарына $1$-ден $2n$-ге дейінгі барлық натурал сандар қандай бір ретте жазылған (әр ұяшықта бір сан). Әр күн сайын түсте компьютер үстіңгі қатардағы саны төменгі қатардағы саннан үлкен болатын бір бағанды кездейсоқ таңдап, сол екі санды орнындарымен ауыстырады, содан кейін үстіңгі қатардағы сандарды кездейсоқ орындарымен ауыстырады. Әр бағандағы екі санның ішінде үстіңгі сан төменгі саннан кіші болған сәтте процесс тоқтайды. Бұл процесс $n^2$ күннен артық созылмайтынын дәлелдеңіз.
(
М. Магин,
Р. Баринов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $n$ санының $1$-ден үлкен қандай да $a$, $b$, $c$ бөлгіштері үшін $(a-1)(b-1)(c-1)$ көбейтіндісі $n^2$ санына бөлінетіндей натурал $n$ саны табылады ма?
(
Р. Ишкуватов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)