12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. На рисунке ниже дан фрагмент плитки из мечети в городе Исфахан. Фрагмент состоит из пяти различных типов многоугольников. Он включает правильный пятиугольник и правильный десятиугольник, причём все стороны имеют одинаковую длину. Шестиугольник в этом фрагменте имеет четыре равных угла, а два других угла также равны между собой. Найдите величины отмеченных углов на рисунке.

комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что окружность с центром в $O_{1}$, проходящая через $B$, и окружность с центром в $O_{2}$, проходящая через $C$, внешним образом касаются в точке $P$ ($P$ лежит внутри треугольника). Найдите $\angle BPC$.
комментарий/решение

Задача №3. Арашу дали бумажный равнобедренный прямоугольный треугольник. Сгиб этой бумаги называется хорошим, если у многоугольника, полученного после этого сгиба, все углы будут меньше $180^{\circ}$. Сначала Араш делает один хороший сгиб бумаги. Затем Бабак берет эту бумагу и выполняет два хороших сгиба так, что в итоге бумага оказывается согнутой ровно три раза. Араш хочет, чтобы у итогового полученного многоугольника было как можно больше сторон, а Бабак, наоборот, как можно меньше. При условии, что оба будут действовать оптимально, сколько сторон будет у итогового многоугольника?
комментарий/решение

Задача №4. Дан выпуклый четырёхугольник, в котором каждая диагональ больше любой из его сторон. Докажите, что длина каждой диагонали этого четырёхугольника меньше, чем $\sqrt{3}$, умноженная на длину одной из сторон.
комментарий/решение

Задача №5. В треугольнике $ABC$, в котором $\angle CAB=15^{\circ}$ и $\angle CBA=30^{\circ}$, точки $X$ и $Y$ лежат внутри угла $BCA$ так, что $\angle BCX=\angle ACY=45^{\circ}$ и $BC=CY$, $AC=CX$. Пусть прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $Z$. Докажите, что $AZ=BC$.
комментарий/решение