12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что окружность с центром в $O_{1}$, проходящая через $B$, и окружность с центром в $O_{2}$, проходящая через $C$, внешним образом касаются в точке $P$ ($P$ лежит внутри треугольника). Найдите $\angle BPC$.

Комментарий/решение

Из за того что радиусы равны $\angle BO_1P=\angle O_1PB=\alpha, \angle O_2CP=\angle CPO_2=\beta \Rightarrow \angle BPC= 180^\circ-(60^\circ-\alpha+60^\circ-\beta)=60+\alpha+\beta \Rightarrow \alpha+\beta=60^\circ \Rightarrow \angle BPC= 180^\circ- (\alpha+\beta)=120^\circ$