қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Докажите, что число $A=\frac{1^{4}+2024^{4}+2025^{4}}{1^{2}+2024^{2}+2025^{2}}$ является целым.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $x, y, z$ — положительные действительные числа, такие что $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ и $xyz=1$. Докажите, что $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Окружности $\Gamma$ и $\Omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$. Окружность $\Omega$ лежит внутри окружности $\Gamma$. На окружности $\Gamma$ выбрана точка $P$, отличная от точки $A$. Хорды $P R$ и $P Q$ окружности $\Gamma$ касаются окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Прямая $A P$ пересекает окружность $\Omega$ в точке $X$ $(X \neq A)$. Прямые $A C$ и $B X$ пересекаются в точке $Y$ (точка $C$ лежит между точками $A$ и $Y$, точка $X$ лежит между точками $B$ и $Y$). Оказалось, что точка $Y$ лежит на окружности $\Gamma$. Докажите, что $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все простые числа $p$, для которых найдутся натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $p^{m}=n^{3}+8$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. У одного рассеянного учёного в лаборатории хранятся 462 неотличимых с виду кристаллов. Среди них точно есть 1 энергокристалл, 1 кристалл-нейтрализатор (он подавляет свойства энергокристалла, если находится рядом) и 460 обычных кристаллов. По рассеянности учёный сложил все кристаллы в одну коробку, и теперь не может определить, где какой.
За один запуск учёный может поместить в детектор некоторое количество кристаллов (в детектор помещается любое количество кристаллов — от одного до всех 462). После этого он проводит проверку с помощью детектора. Результат работы детектора зависит от состава помещённых в него кристаллов:
Если в детекторе находятся только обычные кристаллы, он не реагирует.
Если среди кристаллов есть энергокристалл, но нет нейтрализатора, детектор подсвечивает энергокристалл зелёным светом.
Если среди помещённых кристаллов есть нейтрализатор (независимо от наличия энергокристалла), детектор не подаёт никаких сигналов — действие энергокристалла подавляется.
Однако есть ограничение: заряда аккумулятора хватит лишь на 11 запусков.
Сможет ли учёный, используя не более 11 запусков детектора, однозначно определить, какой из 462 кристаллов является энергокристаллом?
комментарий/решение(1)
За один запуск учёный может поместить в детектор некоторое количество кристаллов (в детектор помещается любое количество кристаллов — от одного до всех 462). После этого он проводит проверку с помощью детектора. Результат работы детектора зависит от состава помещённых в него кристаллов:
Если в детекторе находятся только обычные кристаллы, он не реагирует.
Если среди кристаллов есть энергокристалл, но нет нейтрализатора, детектор подсвечивает энергокристалл зелёным светом.
Если среди помещённых кристаллов есть нейтрализатор (независимо от наличия энергокристалла), детектор не подаёт никаких сигналов — действие энергокристалла подавляется.
Однако есть ограничение: заряда аккумулятора хватит лишь на 11 запусков.
Сможет ли учёный, используя не более 11 запусков детектора, однозначно определить, какой из 462 кристаллов является энергокристаллом?
комментарий/решение(1)