Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Пусть $x, y, z$ — положительные действительные числа, такие что $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ и $xyz=1$. Докажите, что $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$.

Комментарий/решение

$$0\le x+y+z-xy-yz-zx+xyz-1=(x-1)(y-1)(z-1)$$

$1) x,y,z\ge1\Longrightarrow xyz\ge1\varnothing$

$2)x,y\ge1\ge z\Longrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\le0\varnothing$

$3)x\ge1\ge y,z\longrightarrow y+z\le 2\blacksquare$