Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Докажите, что число $A=\frac{1^{4}+2024^{4}+2025^{4}}{1^{2}+2024^{2}+2025^{2}}$ является целым.

Комментарий/решение

x=2024

Допустим 2024=х тогда 1+х^4+(х+1)^4 / 1+х^2+(х+1)^2 = 2*(х^2+х+1)^2 / 2(х^2+х+1) = х^2+х+1.А это целое.

Ответ:2024^2+2024+1

Пусть $2024=a$, $2025=a+1$.

$\frac{1^4+a^4+(a+1)^4}{1^2+a^2+(a+1)^2}$

$\frac{1^4+a^4+a^4+4a^3+6a^2+4a+1}{1^2+a^2+a^2+2a+1}$

$\frac{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}{a^2+a+1}$

дальше можно заметить что $(a^2+a+1)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1$.Такой же результат при делении в столбик.

В итоге получаем $2024^2+2025$ что является целым.