Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

Задача №1. Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $1 + 2 + \ldots + n$ равно трёхзначному числу с одинаковыми цифрами.
комментарий/решение(16)

Задача №2. Докажите, что для всех действительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $(x-y)^2+(xy+7)^2\ge 24.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена медиана $CD$. Прямая, прходящая через точку $D$ перпендикулярно медиане $CD$, пересекает прямые $AC$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $Q$. $M$ — середина отрезка $P$. Докажите, что $CM \perp AB$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Сколькими нулями оканчивается число $N=(20!)^3+(24!)^3?$
комментарий/решение(2)

Задача №5. У Асхата в коробке лежали 5 красных и 6 зелёных шаров. Асхат по очереди вытаскивал эти шары по одному из коробки и клал их на стол, пока не вытащил все шары, и каждый раз оказывалось, что на столе было больше зелёных шаров, чем красных. Скольким различными способами он мог это сделать?
комментарий/решение(1)