Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $1 + 2 + \ldots + n$ равно трёхзначному числу с одинаковыми цифрами.

Комментарий/решение

$$1 + 2 + 3 + ... + n \Rightarrow (n + 1) \cdot \frac{n}{2} \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} $$

Возьмем трехзначные числа $222; 333; 444$ и т.д. как $111 \cdot a$ (a натуральное от 1 до 9 включительно); Тогда:

$$\frac{n(n+1)}{2} = 111 \cdot a$$

$$n(n+1) = 3 \cdot 2 \cdot a \cdot 37$$

Значит 6a либо равно 36 либо равно 38 потому что n натуральное

Если $6a = 38$ :

$\dfrac{38}{6} \Rightarrow a$ не натуральное противоречие

Если $6а = 36$ :

$\dfrac{36}{6} \Rightarrow a = 6$

$$n(n+1) = 36 \cdot 37 \Rightarrow n=36$$