Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $1 + 2 + \ldots + n$ равно трёхзначному числу с одинаковыми цифрами.

Комментарий/решение

для начала приравняем 1+2+3+.....+n=трехзначное число с одинаковыми цифрами например 666 далее 1+2+3....+n можно приравнять к формуле n(n+1)/2 далее

n(n+1)/2=666 далее решаем как пропорцию и у нас выходит квадратное уравнение

n^2+n-1332=0 раскладываем группировкой и выходит (n-36)(n+37)=0 далее приравниваем скобки к 0 и у нас выходит два корня -37 и 36 количество не может быть отрицательным поэтому остается 1 корень это 36 и это и есть ответ

Вы нашли ответ для этого примера но не для всех

я решаю респу 2025 как ее закончу дорешаю на этой респе задачу номер 4 а задачу номер 2 я не выставил потомучто там уже есть решение а у меня оно такое же

И что вы хотели с этим сказать?

Я хотел вам сказать что я решу и оставшиеся задачи просто дайте время

Я хотел сказать то что вы не смотрели случаи как 111 222 333 444 555 777 888 999

Бро я прекрасно знаю эти случаи я пересмотрел их в черновике и выбрал 666 и выписал сюда только 666 что бы не было много воды ибо с другими трехзначными числами корни будут не целые

Так я только про эту задачу говорил

Ну вот и все я тебе ответил что пересмотрел и другие случаи но сюда выписал 666 что бы не было много воды

Я не понимал из-за того что вы взяли как пример

Я понимаю что ответ только. 666 но я хотел тебе сказать что ты брал 666 как пример и из-за этого написал коментарий

Серьезно вы думали что я сказал вам чтобы вы решали все эти задачи?

Ну блин значит мы друг друга не поняли лан забей забудем просто

Угу

Лол, что за гениальный спор двух 7-классников))) ещё один из них разговаривает уважительно, а второй отвечает грубо

$$1 + 2 + 3 + ... + n \Rightarrow (n + 1) \cdot \frac{n}{2} \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} $$

Возьмем трехзначные числа $222; 333; 444$ и т.д. как $111 \cdot a$ (a натуральное от 1 до 9 включительно); Тогда:

$$\frac{n(n+1)}{2} = 111 \cdot a$$

$$n(n+1) = 3 \cdot 2 \cdot a \cdot 37$$

Значит 6a либо равно 36 либо равно 38 потому что n натуральное

Если $6a = 38$ :

$\dfrac{38}{6} \Rightarrow a$ не натуральное противоречие

Если $6а = 36$ :

$\dfrac{36}{6} \Rightarrow a = 6$

$$n(n+1) = 36 \cdot 37 \Rightarrow n=36$$