қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Найдите все тройки $(a,b,c)$ положительных действительных чисел такие, что \[a^3 + b^3 = b^4 + c^4 = c^5 + a^5 = 2. \]
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ ($BA\ne BC$) проведены высоты $BE$ и $CF$. Точки $M,N$ — середины сторон $BC, CA$ соответственно. Прямая $CF$ пересекает описанную окружность треугольника $BEN$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $A,M,X,Y$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выбрать так, что сумма любых двух различных выбранных чисел представимо в виде $p^n$ для некоторого простого $p$ и натурального $n$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В стране 2023 городов и $n$ дорог. Каждая дорога соединяет некоторые пары различных городов и между любыми двумя городами не более одной дороги. Известно, что по этим дорогам можно добраться из любого города в любой другой. Поскольку содержание этих дорог стало дорогостоящим, правительство решило закрыть строго больше $80\%$ из них так, чтобы из любого города можно было попасть в любой другой город по оставшимся дорогам. Это решение понравилось жителям страны и им было предложено выбрать 2 дороги, которые правительство не закроет. Найдите наименьшее возможное значение $n$, что при любом изначальном расположений дорог и при любом выборе жителей правительство сможет выполнить свой план.
комментарий/решение
комментарий/решение