Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выбрать так, что сумма любых двух различных выбранных чисел представимо в виде $p^n$ для некоторого простого $p$ и натурального $n$?

Комментарий/решение

Ответ: 5

Оценка: Отметим, что если среди этих чисел хотя-бы 2 неположительных, то их сумма неположительна, противоречие. Потому максимум 1 число неотрицательно. Положим нашлось хотя-бы 6 таких чисел. Тогда натуральных хотя-бы 5. По принципу Дерихле хотябы 3 числа из них одной четности, пусть это $a$, $b$, $c$. Из условия становится понятным что их попарные суммы --- степени 2, т.к. они чётны. Если $a + b = 2^k$, $a + c = 2^m$, $b + c = 2^n$ и Б.О.О $0 < k < m < n$. Тогда $m \le n-1$, $k \le n-2$. Кроме того,

2a = (a + b) + (a + c) - (b + c) = 2^k + 2^m - 2^n = (2^k - 2^{n-1}) + (2^m - 2^{n-1}) < 0,

противоречие.

Пример: $-1,\ 3,\ 5,\ 6,\ 26$.

26+5=31

26+3=29

Как их представить в виде p^n

Поскольку 31,29 - простые, то 31¹ и 29¹, 1 - тоже натурален