Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Кез келген екi әртүрлi таңдалған санның қосындысы кейбір $p$ жай саны мен $n$ натурал саны үшін, $p^n$ түрінде жазуға болатындай ең көп неше әртүрлi бүтiн сан таңдауға болады?

Комментарий/решение

Ответ: 5

Оценка: Отметим, что если среди этих чисел хотя-бы 2 неположительных, то их сумма неположительна, противоречие. Потому максимум 1 число неотрицательно. Положим нашлось хотя-бы 6 таких чисел. Тогда натуральных хотя-бы 5. По принципу Дерихле хотябы 3 числа из них одной четности, пусть это a, b, c. Из условия становится понятным что их попарные суммы - степени 2, т.к. они чётны. Если a + b = 2^k, a + c = 2^m, b + c = 2^n и Б.О.О 0 < k < m < n. Тогда m <= n-1, k <= n-2. Кроме того, 2a = (a + b) + (a + c) - (b + c) = 2^k + 2^m - 2^n = (2^k - 2^(n-1)) + (2^m - 2^(n-1)) < 0, противоречие.

Пример: -1, 3, 5, 6, 26.