қазақша
русский8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
Есеп №1. $a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ сандары 1, 2, $\ldots$, 11 сандарының қандай да орын ауыстырылуы болсын. $$A=(1+a_1)\cdot(2+a_2)\cdots(11+a_{11})$$ деп белгілейік. $A$ саны әрқашан
а) 2-ге бөлінеді ме?
б) 4-ке бөлінеді ме?
комментарий/решение(1)
а) 2-ге бөлінеді ме?
б) 4-ке бөлінеді ме?
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бір қатарда 100 адам тұр. Олардың әрқайсысы не өтірікші (олар әрқашан өтірік айтады), не сері (олар әрқашан шындықты айтады). Әр адам былай дейді: «Менің сол жағымда тұрған өтірікшілер саны, менің оң жағымда тұрған серілер санынан көп». Қатарда қанша өтірікші бар?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. 101 оң сан берілген, әр сан $\frac{S}{100}$ санынан кіші, мұнда $S$ — барлық 101 санның қосындысы. Кез келген үш санды алсақ, олардан үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $AB:AD=1:2$ болатындай $ABCD$ тіктөртбұрышы берілген. $M$ және $N$, сәйкесінше, $AD$ және $BC$ қабырғаларының орталары. $BAN$ бұрышының ішінен $K$ нүктесі алынған, мұнда $AK=BM$ және ${BK \perp BM}$. $AK$ және $BC$ түзуі $P$ нүктесінде, ал $PD$ және $MN$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $\angle AQP=60^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $2m - 1$ саны $n$-ге және $3n - 1$ саны $m$-ге бөлінетіндей барлық натурал $(m, n)$ сандар жұбын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)