8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Найдите все пары натуральных чисел $(m, n)$ таких, что ${2m - 1}$ делится на $n$, а ${3n - 1}$ делится на ${m}$.

Комментарий/решение

$2m-1=nx;3n-1=my\Longrightarrow m=\dfrac{nx+1}{2};n=\dfrac{my+1}{3}\Longrightarrow m=\dfrac{mxy+x+3}{6}\Longrightarrow m(6-xy)=x+3\Longrightarrow 5\ge xy\Longrightarrow x=1;3;5\Longrightarrow (m;,x)=(1,1);(2,1);(4,1);(2,3);(8,5)\Longrightarrow 2m-1=1;3;7;3;15\Longrightarrow n=1;3;7;1;3\Longrightarrow (m,n)=(1,1);(2,1);(4,7);(2,3);(8,3)$

$$mn\mid (2m-1)(3n-1)$$

$$mn\mid 6mn-2m-3n+1$$

$$mn \mid 2m+3n-1$$

$$2m+3n-1 \ge mn$$

$$0 \ge m(n-2)-3n+6-5$$

$$5 \ge (m-3)(n-2)$$

и дальше изи получаем ответы

я фембой Вот мое фото...