қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2014 год. Турция
Есеп №1. $a, b, c$ сандары қандай да бір үшбұрыштың қабырғалары болса, онда $a^{2}+bct$, $b^{2}+cat$, $c^{2}+abt$ сандары да үшбұрыштың қабырғалары болады деген тұжырым дұрыс болатындай барлық нақты $t$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларында $DB = BC = CE$ болатындай, сәйкесінше, $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $CD$ және $BE$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $I$ — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі, $H$ — $DEF$ үшбұрышының ортоцентрі, ал $M$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BAC$ доғасының ортасы. $I$, $H$, $M$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Натурал сан $m$ үшін $d(m)$ деп оның барлық натурал бөлгіштерінің санын, ал $\omega(m)$ — оның әртүрлі жай бөлгіштерінің санын белгілейік. $k$ — натурал сан болсын. $\omega(n)=k$ және $d(n)$ саны $a+b=n$ болатын ешбір натурал $a, b$ үшін $d(a^{2}+b^{2})$ санына бөлінбейтін шексіз көп натурал $n$ сандары бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық $n \geq 2$ бүтін сандарын табыңыз: егер $0
Есеп №5. $n$ — натурал сан болсын. Әрқайсысында нөлдік немесе оң мөлшерде тастары бар $n$ жәшік берілген. Бір қадамда кез келген бір жәшіктен екі тас алып, біреуін шетке лақтырып тастап, екіншісін кез келген басқа жәшікке салуға болады. Бастапқы тастар орналасуы рұқсат етілген деп аталады, егер осы күйден (мүмкін нөл қадам санымен) барлық жәшіктердің бос еместігіне қол жеткізуге болса. Қай жәшікке бір тас қоссақ та орналасуы рұқсат етілген болып шығатын, бірақ бастапқыда рұқсат етілмейтін барлық орналасуларды табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Барлық нақты $x$ және $y$ сандары үшін $$f\left(y^{2}+2xf(y)+f(x)^{2}\right)=(y+f(x))(x+f(y))$$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)