Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур заключительного этапа

Есеп №1. Андрей өз бақшасына асқабақ өсірді. Олардың арасында салмағы бірдей екі асқабақ жоқ. Ол алдымен салмағы ең кіші бірнеше асқабақты өзіне, кейін қалғанынан салмағы ең кіші бірнешеуін досына, одан кейін қалғанының барлығын бұқтырмаға жібермекші болды. Сол кезде осындай бөліністе ол өзіне асқабақтардың жалпы салмағының

$10\%$ -ын, ал досына

$50\%$ -ын беруші еді. Бірақ досы оған сондай мөлшерде асқабақтың керек емес екендігін айтты. Содан соң Андрей басқа тәсілмен бөлуді ұйғарды, бірақ бәрібір сол қағиданы ұстанды: алдымен салмағы ең кіші бірнеше асқабақты өзіне, кейін қалғанынан салмағы ең кіші бірнешеуін досына, одан қалғанының барлығын бұқтырмаға жіберді. Бұл жолы Андрейде де, досында да асқабақтардың жалпы салмағының

$20\%$ -ы болды. Андрейдің бақшасында кем дегенде неше асқабақ өсуі мүмкін? ( А. Солынин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышы берген. Қандай да бір түзу

$AC$ табанын

$D$ ,

$AB$ қабырғасын

$E$ және

$CB$ сәулесін

$F$ нүктесінде қиып өтеді. Егер

$\angle ADE=\angle CDB$ болса,

$BCE$ және

$AEF$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Тақтада 9999 саны жазылған. Бір жүрісте осы төрт цифрдың кез келген біреуін 1-ге азайтуға болады (бірақ цифрды нөлден кіші қылуға болмайды). Екі ойыншы кезекпен жүріс жасайды. Қай ойыншы алғаш рет 2024-тен кіші санын алса, сол ойыншы ұтылады. Дұрыс ойында қай ойыншы ұтады: бірінші болып жүретін ойыншы ма, әлде оның қарсыласы ма? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$m>1$ тақ сан үшін, 2-нің дәрежелерін

$m$ -ге бөлгенде пайда болған барлық қалдықтардың ішінде

$m/2$ санынан артық болатын қалдықтардың саны

$k$ -ға тең. Сондай-ақ, натурал

$n$ саны үшін

$2^n-1$ саны

$m$ -ге бөлінеді. Егер

$\frac{2^n-1}{m}$ саны 2-нің әртүрлі бүтін дәрежелерінің қосындысына тең болса, онда қосылғыштар саны

$k$ -ға еселік болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

результаты