10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. Точки

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AB$ и

$BC$ квадрата

$ABCD$ (см. рисунок ниже). Согласно рисунку, нарисованы правильный шестиугольник и правильный 12-угольник. Точки

$P$ ,

$Q$ и

$R$ — центры этих трех многоугольников. Докажите, что

$PQRS$ — вписанный четырёхугольник.

комментарий/решение(5)

Задача №2. Дан выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ с точкой

$P$ внутри него. Предположим, что

$BCEF$ — это квадрат, и

$ABP$ и

$PCD$ — прямоугольные равнобедренные треугольники с прямыми углами в вершинах

$B$ и

$C$ . Прямые

$AF$ и

$DE$ пересекаются в точке

$G$ . Докажите, что

$GP \perp BC$ .
комментарий/решение(12)

Задача №3. Пусть

$\omega$ — описанная окружность треугольника

$ABC$ с соотношением углов

$\angle B=3\angle C$ . Внутренняя биссектрисса угла

$\angle A$ пересекает

$\omega$ и

$BC$ в точках

$M$ и

$D$ соответственно. Точка

$E$ лежит на продолжении прямой

$CM$ за точкой

$M$ (то есть

$M$ лежит между

$C$ и

$E$ ) так, что

$ME$ равен радиусу

$\omega$ . Докажите, что окружности, описанные около треугольников

$ACE$ и

$BDM$ , касаются.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$P$ — середина дуги

$BAC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ . Высоты треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . Точки

$Q$ и

$S$ таковы, что

$HAPQ$ и

$SACQ$ — параллелограммы. Пусть

$T$ — середина

$AQ$ , а

$R$ — точка пересечения прямых

$SQ$ и

$PB$ . Докажите, что прямые

$AB$ ,

$SH$ и

$TR$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Даны

$n$ точек на плоскости так, что по крайней мере

$99\%$ четырёхугольников с вершинами из этих точек являются выпуклыми. Можно ли найти выпуклый многоугольник в плоскости, у которого по крайней мере

$90\%$ вершин совпадают с данными точками?
комментарий/решение(2)