10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1.

$M$ және

$N$ нүктелері —

$ABCD$ квадратының, сәйкесінше,

$AB$ және

$BC$ қабырғаларының орталары (төменгі суретті қара). Суретте дұрыс алтыбұрыш пен дұрыс 12-бұрыш салынған.

$P$ ,

$Q$ және

$R$ нүктелері — осы көпбұрыштардың центрлері.

$PQRS$ — іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.

комментарий/решение(5)

Есеп №2. Дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрышының ішінде

$P$ нүктесі алынған.

$BCEF$ — квадрат, ал

$ABP$ және

$PCD$ үшбұрышының екеуі де тік төбелері, сәйкесінше,

$B$ және

$C$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар болсын.

$AF$ және

$DE$ түзулері

$G$ нүктесінде қиылысады.

${GP \perp BC}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(12)

Есеп №3.

$\omega$ шеңбері

$\angle B=3\angle C$ болатын

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер.

$\angle A$ бұрышының ішкі биссектрисасы

$\omega$ -ны және

$BC$ -ны, сәйкесінше,

$M$ және

$D$ нүктелерінде қияды.

$ME$ кесіндісі

$\omega$ -ның радиусына тең болатындай етіп

$E$ нүктесі

$CM$ түзуінде

$M$ -нен ары созындысынан (яғни

$M$ нүкесі

$C$ мен

$E$ арасында) алынған.

$ACE$ және

$BDM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер өзара жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$P$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$BAC$ доғасының ортасы.

$H$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$Q$ және

$S$ нүктелері

$HAPQ$ және

$SACQ$ параллелограмдар болатындай нүктелер.

$T$ нүктесі

$AQ$ -дің ортасы, ал

$R$ нүктесі —

$SQ$ және

$PB$ түзулерінің қиылысу нүктесі.

$AB$ ,

$SH$ және

$TR$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Жазықтықта орналасқан

$n$ нүкте үшін төбелері осы нүктелерде болатын төртбұрыштардың кемінде

$99\%$ -ы дөңес болып келеді. Берілген нүктелердің кемінде

$90\%$ -ы қандай да бір дөңес көпбұрыш төбелері болатындай етіп, осы жазықтықта дөңес көпбұрыш табылады ма?
комментарий/решение(2)