9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ және

$D$ нүктелері

$\omega$ шеңберінде

$AB = BC = CD$ болатындай жатыр.

$\omega$ -ға

$C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзуді және

$AD$ түзуін сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$\omega$ шеңбері мен

$KLA$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$M$ нүктесінде қиылысады.

$MA = ML$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$AB \neq AC$ болатын сүйірбұрышты

$\triangle ABC$ берілген.

$D$ нүктесі

$BC$ түзуінің бойында жатыр әрі

$DA$ түзуі

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайды.

$E$ және

$F$ нүктелері —

$\triangle ABD$ -ға және

$\triangle ACD$ -ға сырттай сызылған шеңберлер центрлері, ал

$M$ —

$EF$ кесіндісінің ортасы.

$AMD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$D$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді де жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында (

$\angle A \neq 90^\circ$ )

$O$ нүктесі — сырттай сызылған шеңбер центрі, ал

$H$ нүктесі —

$A$ төбесінен түсірілген биіктік табаны.

$M$ және

$N$ арқылы сәйкесінше

$BC$ және

$AH$ кесінділерінің орталарын белгілейік.

$AO$ және

$BC$ түзулері

$D$ нүктесінде қиылысады, ал

$H'$ нүктесі

$H$ нүктесіне

$M$ -ге қарағандағы симметриялы нүкте.

$\triangle OH'D$ -ға сырттай сызылған шеңбер

$\triangle BOC$ -ға сырттай сызылған шеңберді

$E$ нүктесінде қияды.

$NO$ және

$AE$ түзулері

$\triangle BOC$ -ға сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABCD$ трапециясының (

$AB \parallel CD$ ) диагональдары

$P$ нүктесінде қиылысады.

$P$ арқылы өтетін және

$AB$ -ға параллель түзу

$AD$ және

$BC$ кесінділерін сәйкесінше

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қияды.

$DBA$ және

$DCA$ бұрыштарының сыртқы биссектрисалары

$X$ нүктесінде қиылысады.

$S$ нүктесі —

$X$ нүктесінен

$BC$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. Егер

$ABPQ$ және

$CDQP$ — сырттай сызылған төртбұрыштар болса,

$PR = PS$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған.

$E$ және

$F$ нүктелері сәйкесінше

$AC$ және

$AB$ қабырғаларынан

$O$ нүктесі

$EF$ түзуінде жататындай және

$BCEF$ іштей сызылған төртбұрыш болатындай алынған.

$EF$ түзуі

$\omega$ -ның кіші

$AB$ және

$AC$ доғаларын сәйкесінше

$R$ және

$S$ нүктелерінде қияды.

$K$ нүктесі

$R$ нүктесіне

$C$ -ға қарағандағы, ал

$L$ нүктесі

$S$ нүктесіне

$B$ -ға қарағандағы симметриялы нүктелер.

$BS$ және

$RC$ түзу бойларында

$PK \perp BC$ және

$QL \perp BC$ болатындай сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған. Егер центрі

$Q$ және радиусы

$QL$ болатын шеңбер

$\triangle BFS$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанаса, онда центрі

$P$ және радиусы

$PK$ болатын шеңбер

$\triangle RCE$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. Осыған кері тұжырымды да дәлелдеңіз: егер центрі

$P$ және радиусы

$PK$ болатын шеңбер

$\triangle RCE$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанаса, онда центрі

$Q$ және радиусы

$QL$ болатын шеңбер

$\triangle BFS$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайды.
комментарий/решение(1)