Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы


ABCD трапециясының (ABCD) диагональдары P нүктесінде қиылысады. P арқылы өтетін және AB-ға параллель түзу AD және BC кесінділерін сәйкесінше Q және R нүктелерінде қияды. DBA және DCA бұрыштарының сыртқы биссектрисалары X нүктесінде қиылысады. S нүктесі — X нүктесінен BC түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. Егер ABPQ және CDQP — сырттай сызылған төртбұрыштар болса, PR=PS екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
1 года 4 месяца назад #

Сначала мы можем избавиться от R, заметив, что PQ=PR от Ceva. Наверное, это была плохая идея, но неважно. Мы можем начать с небольшого избиения по длине. Описанное ABPQ означает, что AB+PQ=BP+AQ. AB=QPAQ+QDQD и BP=DPAQQD. Таким образом, DPAQQD+AQ=QP+QPAQ+QDQD, или DP=QP2QD+AQAQQD.Пусть AQ=x,QD=y,QP=z. Тогда DP=z2y+xxy и по симметрии AP=z2x+yyx. Теорема Стюарта в APD дает нам, что (x+y)xy+z2(x+y)=(z2x+yyx)2y+(z2y+xxy)2x. Это превращается в z2(4x2+4xyy+4y2+4xyx)=z(4x2+4xy+4y2) или z=xy(x2+xy+y2)(x+y)(x2+y2).При этом AP=x2(x2+2xy+2y2)(x+y)(x2+y2) и DP=y2(y2+2xy+2x2)(x+y)(x2+y2).

Теперь мы можем заняться гео. Мы можем получить AC=APADAQ и BD=DPADDQ, поэтому, используя приведенное выше (на самом деле нам не нужны были Стюарты для этой части). ), AB+AC=BD+CD, и существует окружность Γ, касающаяся ¯AB,¯AC,¯BD,¯CD с центром в точке X. Мы также можем получить из приведенного выше bash, приложив достаточно усилий, что AB+BPAP2=QP. Это означает, что касательные от P к A-объединенной окружности ABP, или Γ, имеют длину PQ. Пусть точка касания с Γ на ¯AC будет Y, а точка касания на ¯AB будет Z. Тогда PQ=PY, поэтому ¯QY параллелен биссектрисе QPD, и BY=BZ, поэтому ¯YZ параллелен биссектрисе угла QPD, и BY=BZ, поэтому ¯YZ параллелен биссектрисе угла QPD ABD. Это означает, что QYZ, или что Q находится на поляре B относительно Γ. По симметрии Q находится на поляре C относительно Γ или Q — полюс ¯BC относительно Γ. Тогда S является инверсией Q относительно Γ, но поскольку (P,PQ) ортогонален Γ, S находится на (P,PQ), как желанный.

  0
1 года 3 месяца назад #

Мне кажется S не желанный

пред. Правка 2   1
1 года 3 месяца назад #

Избиение по длине?

Не нужно никого избивать

  0
1 года 3 месяца назад #

hhuurrrbbb