9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Четыре точки

$A$ ,

$B$ ,

$C$ и

$D$ лежат на окружности

$\omega$ так, что

$AB = BC = CD$ . Касательная к

$\omega$ в точке

$C$ пересекает касательную к

$\omega$ в точке

$A$ и прямую

$AD$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Окружность

$\omega$ и описанная окружность треугольника

$KLA$ вторично пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что

$MA = ML$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ , в котором

$AB \neq AC$ . Пусть

$D$ --- точка на прямой

$BC$ такая, что прямая

$DA$ касается описанной окружности треугольника

$ABC$ . Пусть

$E$ и

$F$ --- центры описанных окружностей треугольников

$ABD$ и

$ACD$ соответственно, а

$M$ --- середина отрезка

$EF$ . Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника

$AMD$ в точке

$D$ также касается описанной окружности треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ (

$\angle A \neq 90^\circ$ ) точка

$O$ --- центр описанной окружности, а

$H$ --- основание высоты из вершины

$A$ . Обозначим середины отрезков

$BC$ и

$AH$ за

$M$ и

$N$ соответственно. Отметим точку

$D$ --- пересечение прямых

$AO$ и

$BC$ , и

$H'$ --- точку, симметричную

$H$ относительно

$M$ . Пусть описанная окружность треугольника

$OH'D$ пересекает описанную окружность треугольника

$BOC$ в точке

$E$ . Докажите, что прямые

$NO$ и

$AE$ пересекаются на описанной окружности треугольника

$BOC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$ABCD$ --- трапеция, в которой

$AB \parallel CD$ . Её диагонали пересекаются в точке

$P$ . Прямая, проходящая через

$P$ параллельно

$AB$ , пересекает отрезки

$AD$ и

$BC$ в точках

$Q$ и

$R$ соответственно. Внешние биссектрисы углов

$DBA$ и

$DCA$ пересекаются в точке

$X$ . Пусть

$S$ --- основание перпендикуляра, опущенного из

$X$ на прямую

$BC$ . Докажите, что если четырехугольники

$ABPQ$ и

$CDQP$ описанные, то

$PR = PS$ .
комментарий/решение(4)

Задача №5. Пусть

$ABC$ --- остроугольный треугольник, вписанный в окружность

$\omega$ с центром в точке

$O$ . Точки

$E$ и

$F$ лежат на сторонах

$AC$ и

$AB$ соответственно так, что

$O$ лежит на прямой

$EF$ и четырёхугольник

$BCEF$ вписанный. Пусть

$R$ и

$S$ --- пересечения прямой

$EF$ с меньшими дугами

$AB$ и

$AC$ окружности

$\omega$ соответственно. Точка

$K$ симметрична

$R$ относительно

$C$ , а точка

$L$ симметрична

$S$ относительно

$B$ . Точки

$P$ и

$Q$ , лежащие на прямых

$BS$ и

$RC$ соответственно, таковы, что

$PK$ и

$QL$ перпендикулярны

$BC$ . Докажите, что окружность с центром

$P$ и радиусом

$PK$ касается описанной окружности треугольника

$RCE$ тогда и только тогда, когда окружность с центром

$Q$ и радиусом

$QL$ касается описанной окружности треугольника

$BFS$ .
комментарий/решение(1)