8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$\triangle ABC$ -ға сырттай

$\omega$ шеңбері сызылған.

$D$ нүктесі

$AC$ -ның ортасы,

$E$ нүктесі

$A$ -дан

$BC$ -ға түсірілген перпендикуляр табаны, ал

$F$ —

$AB$ және

$DE$ түзулерінің қиылысу нүктесі.

$H$ нүктесі

$\angle BHE=\angle ABC$ болатындай

$\omega$ шеңберінің

$BC$ доғасындағы (

$A$ нүктесін қамтымайтын) нүкте.

$\angle BHF = 90^{\circ}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\Gamma_1$ және

$\Gamma_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$A$ арқылы өтетін түзу

$\Gamma_1$ және

$\Gamma_2$ -ны сәйкесінше

$C$ және

$D$ нүктелерінде қияды (

$A$ нүктесі

$CD$ кесіндісінде жатыр).

$\Gamma_2$ -ге

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$\Gamma_1$ -ді

$E$ нүктесінде қияды.

$\Gamma_2$ шеңберінде

$2\angle AFC = \angle ABC$ болатындай

$F$ нүктесі табылған (

$F$ және

$A$ нүктелері

$BD$ -ның екі жағында жатыр).

$\Gamma_2$ -ге

$F$ нүктесіндегі жанама түзу,

$BD$ және

$CE$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\triangle ABC$ -ның

$AD$ ,

$BE$ және

$CF$ биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$H$ нүктесінен

$EF$ -ке жүргізілген перпендикуляр

$EF$ ,

$AB$ ,

$AC$ түзулерін сәйкесінше

$P$ ,

$T$ ,

$L$ нүктелерінде қияды.

$BC$ қабырғасының бойынан

$BD=KC$ болатындай

$K$ нүктесі алынған.

$H$ және

$P$ нүктелері арқылы өтетін

$\omega$ шеңбері

$AH$ түзуін жанайды.

$\triangle ATL$ -ға сырттай сызылған шеңбер мен

$\omega$ шеңберлерінің жанасатынын және

$KH$ түзуі сол жанасу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Жазықтықта 2021 төбесі бар дөңес көпбұрыш берілген. Осы көпбұрыштың ешқандай 4 төбесі бір шеңбердің бойында жатпайды. Келесі шарт орындатындай осы көпбұрыштың екі төбесін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз: осы таңдалған екі нүкте арқылы өтетін кез-келген шеңбердің ішінде (қатаң түрде) осы көпбұрыштың кемінде басқа 673 төбесі жатыр.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Центрі

$I$ болатын,

$\triangle ABC$ -ға іштей сызылған шеңбер

$BC$ -ны

$D$ нүктесінде жанайды.

$P$ және

$Q$ нүктелері

$BC$ қабырғасында

$\angle PAB = \angle BCA$ және

$\angle QAC = \angle ABC$ болатындай жатыр.

$K$ және

$L$ нүктелері сәйкесінше

$ABP$ және

$ACQ$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер центрі.

$AD$ түзуі

$\triangle IKL$ -дің Эйлер түзуі болып келетінін дәлелдеңіз. (Эйлер түзуі дегеніміз ол үшбұрыштың ортоцентрі мен оған сырттай сызылған шеңбер центрі арқылы өтетін түзу.)
комментарий/решение(1)