1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 8-я олимпиада, 2021 год
  6. Третья лига, 11-12 классы

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы


Есеп №1. Сүйірбұрышты $\triangle ABC$-ға сырттай $\omega$ шеңбері сызылған. $D$ нүктесі $AC$-ның ортасы, $E$ нүктесі $A$-дан $BC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны, ал $F$ — $AB$ және $DE$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $H$ нүктесі $\angle BHE=\angle ABC$ болатындай $\omega$ шеңберінің $BC$ доғасындағы ($A$ нүктесін қамтымайтын) нүкте. $\angle BHF = 90^{\circ}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\Gamma_1$ және $\Gamma_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $A$ арқылы өтетін түзу $\Gamma_1$ және $\Gamma_2$-ны сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды ($A$ нүктесі $CD$ кесіндісінде жатыр). $\Gamma_2$-ге $A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $\Gamma_1$-ді $E$ нүктесінде қияды. $\Gamma_2$ шеңберінде $2\angle AFC = \angle ABC$ болатындай $F$ нүктесі табылған ($F$ және $A$ нүктелері $BD$-ның екі жағында жатыр). $\Gamma_2$-ге $F$ нүктесіндегі жанама түзу, $BD$ және $CE$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\triangle ABC$-ның $AD$, $BE$ және $CF$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $H$ нүктесінен $EF$-ке жүргізілген перпендикуляр $EF$, $AB$, $AC$ түзулерін сәйкесінше $P$, $T$, $L$ нүктелерінде қияды. $BC$ қабырғасының бойынан $BD=KC$ болатындай $K$ нүктесі алынған. $H$ және $P$ нүктелері арқылы өтетін $\omega$ шеңбері $AH$ түзуін жанайды. $\triangle ATL$-ға сырттай сызылған шеңбер мен $\omega$ шеңберлерінің жанасатынын және $KH$ түзуі сол жанасу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Жазықтықта 2021 төбесі бар дөңес көпбұрыш берілген. Осы көпбұрыштың ешқандай 4 төбесі бір шеңбердің бойында жатпайды. Келесі шарт орындатындай осы көпбұрыштың екі төбесін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз: осы таңдалған екі нүкте арқылы өтетін кез-келген шеңбердің ішінде (қатаң түрде) осы көпбұрыштың кемінде басқа 673 төбесі жатыр.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Центрі $I$ болатын, $\triangle ABC$-ға іштей сызылған шеңбер $BC$-ны $D$ нүктесінде жанайды. $P$ және $Q$ нүктелері $BC$ қабырғасында $\angle PAB = \angle BCA$ және $\angle QAC = \angle ABC$ болатындай жатыр. $K$ және $L$ нүктелері сәйкесінше $ABP$ және $ACQ$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер центрі. $AD$ түзуі $\triangle IKL$-дің Эйлер түзуі болып келетінін дәлелдеңіз. (Эйлер түзуі дегеніміз ол үшбұрыштың ортоцентрі мен оған сырттай сызылған шеңбер центрі арқылы өтетін түзу.)
комментарий/решение(1)