8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы

В треугольнике $ABC$ высоты $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Прямая, проходящая через $H$ перпендикулярно $EF$, пересекает прямые $EF$, $AB$ и $AC$ в точках $P$, $T$ и $L$ соответственно. Точка $K$ на стороне $BC$ такова, что $BD=KC$. Окружность $\omega$ проходит через точки $H$ и $P$ и касается прямой $AH$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $ATL$, касается $\omega$, причём точка касания лежит на прямой $KH$.

Комментарий/решение

Пусть точка $S$ - точка пересечения $(AEF)$ и $(ATL)$. Рассмотрим поворотную гомотетию $\phi$ с центром $S$, переводящая $(AEF)$ в $(ATL)$. Из леммы о велосипедистах $T\rightarrow F,L\rightarrow E$. Также несложно получить, что $A\rightarrow H$.

Обозначим $Q$ проекция $A$ на $TL$, очевидно она лежит на $AEF$. Поскольку в подобных треугольниках $ATL,AFE$ имеем, что $Q,P$ соответственные, то $Q\rightarrow P$.

Теперь пусть $(AEF)\rightarrow\omega'$. Так как $(AEF)$ проходит через $Q$ и $A$, то $\omega'$ проходит через их образы, то есть $P$ и $H$. Используя, что угол поворота $\phi$ равен $90^\circ$, несложно показать, что $\omega'$ касается $AH$. Это значит то, что $\omega$ совпадает с $\omega'$!

Заметим, что $\phi\circ\phi$ имеет угол поворота $180^\circ$ то есть это гомотетия. В то же время $\phi\circ\phi((ATL))=\omega$, то есть $(ATL)$ касается $\omega$ и $S$ - точка касания. Далее следует терпимой длины тригонометрический счёт, чтобы доказать, что $\angle EHS=\angle CHK$