8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы
Комментарий/решение:
Пусть точка S - точка пересечения (AEF) и (ATL). Рассмотрим поворотную гомотетию ϕ с центром S, переводящая (AEF) в (ATL). Из леммы о велосипедистах T→F,L→E. Также несложно получить, что A→H.
Обозначим Q проекция A на TL, очевидно она лежит на AEF. Поскольку в подобных треугольниках ATL,AFE имеем, что Q,P соответственные, то Q→P.
Теперь пусть (AEF)→ω′. Так как (AEF) проходит через Q и A, то ω′ проходит через их образы, то есть P и H. Используя, что угол поворота ϕ равен 90∘, несложно показать, что ω′ касается AH. Это значит то, что ω совпадает с ω′!
Заметим, что ϕ∘ϕ имеет угол поворота 180∘ то есть это гомотетия. В то же время ϕ∘ϕ((ATL))=ω, то есть (ATL) касается ω и S - точка касания. Далее следует терпимой длины тригонометрический счёт, чтобы доказать, что ∠EHS=∠CHK
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.