Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы


ABC-ның AD, BE және CF биіктіктері H нүктесінде қиылысады. H нүктесінен EF-ке жүргізілген перпендикуляр EF, AB, AC түзулерін сәйкесінше P, T, L нүктелерінде қияды. BC қабырғасының бойынан BD=KC болатындай K нүктесі алынған. H және P нүктелері арқылы өтетін ω шеңбері AH түзуін жанайды. ATL-ға сырттай сызылған шеңбер мен ω шеңберлерінің жанасатынын және KH түзуі сол жанасу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 6 месяца назад #

Пусть точка S - точка пересечения (AEF) и (ATL). Рассмотрим поворотную гомотетию ϕ с центром S, переводящая (AEF) в (ATL). Из леммы о велосипедистах TF,LE. Также несложно получить, что AH.

Обозначим Q проекция A на TL, очевидно она лежит на AEF. Поскольку в подобных треугольниках ATL,AFE имеем, что Q,P соответственные, то QP.

Теперь пусть (AEF)ω. Так как (AEF) проходит через Q и A, то ω проходит через их образы, то есть P и H. Используя, что угол поворота ϕ равен 90, несложно показать, что ω касается AH. Это значит то, что ω совпадает с ω!

Заметим, что ϕϕ имеет угол поворота 180 то есть это гомотетия. В то же время ϕϕ((ATL))=ω, то есть (ATL) касается ω и S - точка касания. Далее следует терпимой длины тригонометрический счёт, чтобы доказать, что EHS=CHK