5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Задача №1. Через

$a_n$ обозначим

$n$ -ое простое число. Например,

$a_1=2$ ,

$a_2=3$ ,

$a_3=5$ . Найдите наибольшее такое число

$n$ , что

$3n$ не меньше числа

$a_n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите количество натуральных делителей числа

$21^{22}$ .
комментарий/решение(4)

Задача №3. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 42 минут? Если в задаче получили два ответа, то необходимо указать меньшее из них.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В равнобедренном треугольнике

$MLP$ с основанием

$LP$ биссектрисы

$LN$ и

$PK$ пересекаются в точке

$Q$ . Известно, что

$\angle LMP=80^\circ$ . Найдите градусную меру разности

$|\angle KQN-\angle QNM|$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Для некоторой операции

$*$ выполнены равенства

$3*3 = 3 + 4 + 5$ ,

$5*6 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$ . Вычислите значение выражения

$(99*5)-(101*4)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. На рисунке ниже найдите градусную меру угла

$\angle EDF.$

комментарий/решение(2)

Задача №7. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 51 дают остаток 10.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Пешеход вышел из пункта

$N$ в пункт

$M$ . Через 40 минут из

$N$ в

$M$ выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в

$M$ , пешеходу оставалось

$20\%$ всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на середине пути из

$N$ ? Скорости пешехода и велосипедиста постоянны. Укажите ответ в минутах.
комментарий/решение

Задача №9. Натуральное число

$n$ не делится на 80. Но когда это число разделили на 80 с остатком, оказалось, что частное и остаток равны одному и тому же числу

$q$ , являющимся степенью тройки. Найдите наибольшее возможное значение

$n$ .
комментарий/решение

Задача №10. Цена товара

$X$ на

$20\%$ ниже, по сравнению с товаром

$Y$ . Цена товара

$Y$ подорожал вначале на

$20\%$ , а потом ещё на

$20\%$ . На сколько процентов требуется поднять цену товара

$X$ , чтобы его новая цена равнялась новой цене товара

$Y$ ?
комментарий/решение

Задача №11. Юре и Юле сейчас вместе 39 лет, причём Юле в 3 раза меньше лет, чем будет Юре тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Юре сейчас. Сколько лет сейчас Юре?
комментарий/решение

Задача №12. Найдите наибольшее значение выражения:

$-3x^2+6x+2202$ .
комментарий/решение(12)

Задача №13. Периметр прямоугольного треугольника

$ABC$ равен 60. Сторона

$AB$ на 2 больше стороны

$BC$ , а сторона

$AC$ в 2,4 раза меньше стороны

$BC$ . Найдите площадь треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение

Задача №14. На доске было написано пять целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие десять чисел:

$-2$ , 1, 1, 3, 3, 6, 9, 11, 14, 14. Найдите произведение этих пять чисел.
комментарий/решение

Задача №15. Рассмотрим все такие натуральные числа

$n$ , что найдется

$n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2022. Найдите произведение всех таких натуральных

$n$ .
комментарий/решение

Задача №16. Какое наибольшее количество целых чисел можно написать на доске так, чтобы и сумма и разность любых двух из них не делилась на 125.
комментарий/решение

Задача №17. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ положительны. Известно, что

$ab = 5$ ,

$bc = 9$ ,

$bd = 7$ ,

$cd = 21$ ,

$de = 5$ . Найдите значение дроби

$\frac{10a+10d}{e}$ .
комментарий/решение

Задача №18. Найдите наибольшее такое число

$n$ , что

$100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200={{2}^{n}} \cdot k$ . Здесь

$k$ и

$n$ — натуральные числа.
комментарий/решение

Задача №19. Пусть

$\frac{1}{A}=1-\frac{2}{1 \cdot \left( 1+2 \right)}-\frac{3}{\left( 1+2 \right) \cdot \left( 1+2+3 \right)}-\ldots -\frac{200}{\left( 1+2+\ldots +199 \right) \cdot \left( 1+2+\ldots +200 \right)}.$ Найдите число

$A$ .
комментарий/решение(1)

Задача №20. Найдите число натуральных решений

$(x, y, z)$ уравнения

$x+y+z=65$ .
комментарий/решение(1)