Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 8 сынып

$2^{2^{\dots ^2}}+9$ түріндегі барлық жай сандарды анықтаңыздар.

Комментарий/решение

b_Ответ: $11,\,13$._b

$2+9=11,\,2^2+9=13$.

Рассмотрим степенные башни при $n \geqslant 3$, т. е. числа вида $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}$, для которых, очевидно, показатель делится на $4$, но $2^{4k} \equiv 6 \pmod{10}$, значит $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}+9 \equiv 5 \pmod{10}$ или $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}+9 \, \vdots \, 5$.